3.2. Системи логарифмічних рівнянь

Під час розв’язування систем логарифмічних рівнянь переважно використовують ті самі способи, що при розв’язуванні алгебраїчних систем.

Розглянемо приклади розв’язування систем логарифмічних рівнянь

Розв’язати системи рівнянь:

1.

Р о з в’ я з а н н я.

Р о з в’ я з а н н я.

Перше рівняння системи рівносильне рівнянню yx=2, а друге – рівнянню , причому x>0 і y>0. Підставляючи y=x+2 в рівняння , дістанемо x(x+2)=48, звідки x2+2x–48=0, тобто x=-8 або x=6. Але оскільки x>0, то x=6 і тоді y=8. Отже, дана система рівнянь має один розв’язок: x=6, y=8.

Відповідь: (6; 8).

Р о з в’ я з а н н я.

Використовуючи властивості логарифма, перетворимо рівняння даної системи:

Зробимо заміну log2x=u, log2(y+1)=v. Дістанемо систему:звідки log2x=1/2, log2(y+1)=4, або log2x=1, log2(y+1)=2. Отже, дістали два розв’язки: x=2, y=3 і , y=15.

Р о з в’ я з а н н я.

Прологарифмуємо перше рівняння системи за умови, що x>0, y>0,  x≠1, y≠1. Маємо:

lg y·lg x=2.                                                (1)

З другого рівняння системи

x=y2.                                                     (2)

З рівнянь (1) і (2) маємо: lg y·lg y2=2. Оскільки, y>0, то 2lg y2=2, lgy2=1, lgy=±1, y1=0,1, y2=10, x1=0,01, x2=100.

Відповідь: (0,01; 0,1), (100; 10).

Р о з в’ я з а н н я.

Множина допустимих значень змінних  х і  y визначається системою нерівностей

Запишемо перше рівняння системи у вигляді . Дістанемо рівняння xy+6=6–2y. З другого рівняння системи, записаного у вигляді log3((x–2y)(3x+2y))=3, матимемо рівняння (x–2y)(3x+2y)=27. Отже, розв’язання вихідної системи звелося до розв’язування системи рівнянь  яка розглядається на множині допустимих значень змінних, заданих вихідною системою.

З першого рівняння системи знаходимо y=-x. Підставляючи  це значення у друге рівняння системи, дістанемо 3x2=27. Звідси x1=3, x2=-3. З першого рівняння системи знаходимо y1=-3, y2=3. Даній системі задовольняє лише пара (3; -3).

Відповідь: (3; -3).

Комментирование закрыто.