1.3. Деякі важливі логарифмічні тотожності

1)     , або logb a · loga b=1.

Д о в е д е н н я. Нехай logba=x. Тоді, за означенням логарифма, bx=a. Логарифмуючи цю рівність за основою a, дістанемо xlogab=1, звідки , тобто 

2)     ,     тобто, якщо число, що стоїть під знаком логарифма, і основу логарифма піднести до будь-якого степеня, то величина логарифма не зміниться.

Цю тотожність доведіть самостійно!

За цією тотожністю маємо, наприклад: .

3)      .

Д о в е д е н н я. Нехай , тоді . Піднесемо обидві частини останньої рівності до степеня , дістанемо: . Тепер прологарифмуємо останню рівність за основою a. Маємо: , тобто .

Розвяжемо декілька прикладів

Приклад 1. Що більше: log43 чи log109?

Розв’язання., отже, log43= log169. Таким чином, log43<log109.

Приклад 2. Обчислити , знаючи, що log123=а.

Розв’язання.. Враховуючи залежності , дістанемо . Отже,

Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називають потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

Застосовуючи теореми логарифмування, іноді можна вирази, що містять логарифми чисел або виразів, перетворити в логарифм одного числа або виразу.

Приклади.

1.  Знайти x за даним його логарифмом: lgx = 5·lga – 3lgc.

Р о з в’ я з а н н я. За теоремою про логарифм степеня, , за властивістю про логарифм частки, .

Якщо логарифми виразів x і   за однією і тією самою основою рівні, то і вирази будуть рівні, тобто .

2.  Спростити вираз: .

Р о з в’ я з а н н я. Маємо: .

 

Комментирование закрыто.