1.2. Основні властивості логарифмів

Розглянемо основні властивості логарифмів.

1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх   логарифмів, тобто

loga(x·y)= logax + logay, де x>0, y>0.

Д о в е д е н н я

Позначимо logax = z1 і logay = z2. За означенням логарифма, , . Перемножуючи почленно ці рівності, дістанемо: . Тут z1+z2 є показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число, яке дорівнює добутку. Отже, можна записати: loga(x·y) = z1+z2. Замінюючи z1 і z2 їх виразами через логарифми, остаточно дістанемо: loga(x·y)= logax + logay. Теорему доведено для окремого випадку – для двох множників. Але її можна довести і для будь-якого скінченого числа множників, бо при знаходженні добутку скінченого числа степенів однієї й тієї самої основи показники степенів додаються.

Для доведення цієї теореми можна було скористатися основною логарифмічною тотожністю. Пропонуємо читачу довести цей випадок самостійно.

2. Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і знаменника), тобто

, де x>0, y>0.

Д о в е д е н н я

Нехай logax = z1 і logay = z2. Тоді , . Поділимо почленно першу рівність на другу: . Тут z1-z2 є показником степеня, до якого слід піднести основу a, щоб дістати число, що дорівнює частці  . Отже, маємо: .

Замінюючи z1 і z2 їх виразами через логарифми, остаточно дістанемо: Цю властивість можна також довести, користуючись основною логарифмічною тотожністю. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, доведіть це твердження самостійно!!!

Наслідок. Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, дорівнює логарифму знаменника, взятому з протилежним знаком.

3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто

loga(Nm) = m·logaN, де m – будь-яке число, N >0.

Д о в е д е н н я

Нехай logaN=x, тоді N=ax. Піднесемо обидві частини останньої рівності до степеня m: Nm = axm. Тут xm – показник степеня, до якого треба піднести основу a, щоб дістати число, яке дорівнює Nm. Отже, переходячи до логарифмів, дістанемо: loga(Nm)=mx. Замінимо x його виразом через логарифм і остаточно матимемо loga(Nm)=m·logaN.

 

4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобто
Д о в е д е н н я. Нехай треба знайти . Замінюючи радикал степенем з дробовим показником і застосовуючи властивість 3, дістанемо:5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатних числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні.

Д о в е д е н н я

Нехай logab = logac , a>o, a≠1, b>o, c>o. Позначимо logab=x, logab=y. Тоді ax=b, ay=c. За властивістю показникової функції, якщо x=y, то b=c.

Обернене твердження доведіть самостійно!

Комментирование закрыто.