1.1. Поняття логарифма

Згадай властивості степеня

Розглянемо рівність 43=64. У цій рівності число 3 є показником степеня, до якого слід піднести число 4, щоб дістати 64. Аналогічно в рівності  число (-2) є показником степеня, до якого треба піднести число 5, щоб дістати  1/25. У загальному випадку в рівності ax=N число x є показником степеня, до якого треба піднести основу a, щоб дістати число N.

Розглянемо рівняння ax=N, де a і N – деякі числа, причому a > 0 і a 1. Якщо N ≤ 0, то це рівняння не має коренів, бо значення показникової функції y = ax додатні при будь-якому x.

Для N > 0 рівняння має корінь, і до того ж єдиний. Справді, областю значень показникової функції y = ax при a 1 є множина додатних чисел (отже, корінь рівняння існує). Крім того, кожне своє значення показникова функція набуває лише при одному значенні аргументу (отже цей корінь єдиний).

Означення. Корінь рівняння ax=N, де a > 0, a 1, називають логарифмом числа N за основою a.

Означення. Логарифмом числа N за основою a (a > 0 і a 1) називається показник степеня x, до якого треба піднести a, щоб дістати число N.

Те, що число x є логарифмом числа N за основою a, записують так: logaN = x

Цю рівність читають так: логарифм числа N за основою a дорівнює x.

Наприклад, з рівності 53=125 випливає, що log5125 = 3.

Вирази log4(-64), log0 не мають смислу, бо рівняння 4х=-64 і 3х=0 не мають коренів.

Увага!!! Вираз logaN де a > 0 і a 1, має смисл лише при N >0

Логарифмічна рівність logaN = b і показникова рівність ab=N виражають одне й те саме співвідношення між числами a, b і N. За цими рівностями можна знайти одне з трьох чисел, що входять до них, якщо задано два інших.

Відповідно до цього можна розв’язати три задачі.

1.  Знайти число N за даним його логарифмом b і за основою а.

2.  Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b.

3. Знайти логарифм b даного числа N за даною основою а.

Широко вживають так звані               десяткові і натуральні логарифми,        тобто логарифми за основою 10 і e, де e – ірраціональне число, наближено рівне 2,7. Для них застосовують замість знака log10а знак lgа і замість знака logеа знак lnа (без зазначення основи), наприклад lg10=1, lg100=2, lne=1.

Основна логарифмічна тотожність. Розглянемо показникову рівність

ax=N.                                                (1)

За означенням логарифма,   x = logaN (2)

Замінюючи в рівності (1) x його значенням з рівності (2), дістанемо:    (3)

Рівність (3) називається основною логарифмічною тотожністю. Вона є коротким записом означення логарифма: logaN є показник степеня, до якого треба піднести основу степеня a, щоб дістати N.

Наприклад:  

Комментирование закрыто.