Історична довідка

Винайдення логарифмів значною мірою прискориось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550 – 1617) і швецький математик Йост Бюргі (1552 – 1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Міхаель Штіфель (1487 – 1567), у якого понятя логарифма з’явилось в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (бл. 287 – 212 до н.е.).

Розглянемо цю ідею на такому прикладі. Складемо таблицю.

У верхньому рядку маємо арифметичну прогресію з різницею, що до­рівнює 1, а в нижньому рядку – відповідно геометричну прогресію із знаменником 2. Зіставивши числа у відповідних колонках, помічаємо, що в першому рядку ми маємо логарифми чисел другого рядка за ос­новою 2. Так, наприклад, log2 512= 9 (бо 29 = 512), log2 8192= 13 (бо 213 = 8192) і т. д.

Користуючись даними таблиці і теоремою про те, що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників, можна значно спро­стити знаходження добутків чисел, записаних у нижньому рядку таблиці.

Нехай треба, наприклад, помножити 64 на 512. Знайдемо лога­рифм цього добутку за основою 2. Маємо log2 (64*512) = log2 64 + log2 512. За таблицею знаходимо

log2 64 = 6, log2512 = 9. Отже, log2 (64*512) = 6 + 9 = 15. Але числу 15 з першого рядка відпові­дає число 32 768 з другого рядка. Отже, 64*512 = 32 768.

Застосовуючи теорему про логарифм частки (дробу) можна ско­ристатися таблицею і під час ділення чисел (зробіть це самостійно).

Можна скористатися таблицею і для піднесення чисел до степеня. Наприклад, обчислимо 45. Маємо log2 45 = 5*log2 4=5*2= 10. Чис­лу 10 з першого рядка таблиці відповідає число 1024 з другого рядка. Отже, 48 = 1024.

Як бачимо, дії другого ступеня (множення, ділення) звелися до дій першого ступеня (додавання, віднімання) над відповідними лога­рифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами.

Для практичного здійснення ідеї Штіфеля треба було скласти гео­метричну прогресію, яка б зростала дуже повільно, бо лише при цьо­му вона може охоплювати значну кількість чисел. Бюргі взяв знамен­ником прогресії число 1,0001 замість 2, як було у Штіфеля.

Пізніше основою таблиць почали називати той член, якому в ариф­метичній прогресії відповідає число 1. У Бюргі основою був 10 001-й член геометричної прогресії, тобто 1,000110000 (в арифметичній прогресії йому відповідало число 0,0001*104 = 1).

Бюргі прийшов до логарифмів раніше, ніж Непер, але опубліку­вав свої таблиці лише у 1620 р. Таким чином, першою в 1614 р. з’явила­ся робота Непера «Описання дивовижної таблиці логарифмів». Основою таблиці логарифмів Непера є ірраціональне число, до якого необмежено наближаються числа виду при необмеженому зростанні n. Це число називають неперовим числом і з часів Леонарда Ейлера позначають буквою e:

Непер склав таблиці, взявши дуже зручне наближення числа е, а саме .

Неперу належить і сам термін «логарифм». Таблиці Непера вдосконалив англійський математик Генрі Брігс (1561-1631). За згодою з самим Непером він спростив його систему логарифмів і склав у десятковій системі числення таблицю логарифмів усіх цілих чисел від 1 до 20000 і від 90000 до 100000 з 14-ма десятковими знаками. Таблиці Брігса, опубліковані в 1624 р. і допов­нені А. Влакком у 1629 р., пізніше почали називати таблицями звичайних логарифмів.

Комментирование закрыто.